MODELO DE P.L EN FORMA DE ECUACIÓN

Función Objetivo:

                                          Maximizar Z=

                                          Minimizar Z=      

Sujeto a: 

6X1 + 4X2 ≤ 24


6X1 + 4X2 + S1 = 24
                  
                 + S1 => Variable de Holgura 


X1 + X2 ≥ 800

X1 + X2 - S2 = 800

             - S2 => Variable Superavil



Ejemplo:

1. Considere la siguiente desigualdad:

10X1 - 3X2 ≥ -5

10X1 - 3X2 - S1 = -5   =>   (NO PUEDE QUEDAR EN -5)

SE MULTIPLICA POR -1 LOS VALORES NEGATIVOS


Solución:

-10X1 + 3X2 ≤ 5

-10X1 + 3X2 + S1 = 5

                                              

          

Planificación de la Mano de Obra

Ejemplo 1: (Modelo de Horario de Autobuses)

La ciudad de Pisco estudia la factibilidad de utilizar un sistema de autobuses de transporte masiva para reducir el tráfico urbano. El estudio busca la cantidad mínima de autobuses que satisfaga las necesidades del transporte.

Después de reunirla información necesaria, el Ing. de transito observó que se requería fluctuaba según la hora del día, y dicha cantidad se podía representar de forma aproximada por valores constantes durante intervalos de 4 horas sucesivos. 

En la figura, resume los hallazgos del Ingeniero. Para realizar el mantenimiento diario requerido, cada autobús puede operar solo 8 horas continuas al día.

Resolución:

X1 = Cantidad de Autobuses 12:01 - 4:00

X2 = Cantidad de Autobuses  4:01  - 8:00

X3 = Cantidad de Autobuses  8:01  - 12:00

X4 = Cantidad de Autobuses 12:01 - 4:00

X5 = Cantidad de Autobuses  4:01  - 8:00

X6 = Cantidad de Autobuses  8:01  - 12:00

Minimizar Z= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

Sujeto a:

X1 + X6 ≥ 4         (12:01 - 4:00)

X1 + X2 ≥ 8         (4:01 - 8:00)

X2 + X3 ≥ 10       (8:01 - 12:00)

X3 + X4 ≥ 7         (12:01 - 4:00)

X4 + X5 ≥ 12       (4:01 - 8:00)

X5 + X6 ≥ 4         (8:01 - 12:00)

X(1, 2, 3, 4, 5, 6) ≥ 0 

TORA:

RESOLUCIÓN:

Minimizar Z= 26

Variables:

x1 = 4

x2 = 10

x3 = 0

x4 = 8

x5 = 4

x6 = 0

Modelo de Producción de un Periódico Único

Modelo de producción de múltiples periodos:

Ejemplo 1:

La compañía Acne, firmó un contrato para entregar 100, 250, 140, 220 y 100 ventanas para casa durante los siguientes 6 meses. El costo de producción (mano de obra, material) se estima que será de $50, $45, $55, $48, $58 y $50 durante los próximos seis meses.

Para aprovechar las fluctuaciones del costo de fabricación, Acne puede producir más ventanas de las necesarias en un mes dado y conservar las unidades adicionales para entregarlas en meses posteriores.

Esto supondrá un costo de almacenamiento a razón de $8 por ventana por mes, estimado en el inventario de fin de mes.

Desarrolle un programa lineal para determinar el programa de producción óptimo.

Resolucion:

Xi = Cantidades de Unidades

Ii = Unidades Almacenadas

i = 1; 2; 3; 4; 5; 6

Minimizar Z= 

50X1 + 45X2 + 55X3 + 48X4 + 52X5 + 50X6 + 

8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)

Sujeto a:

X1 - I1 = 100            (Mes 1)

I1 + X2 - I2 = 250    (Mes 2)

I2 + X3 - I3 = 190    (Mes 3)

I3 + X4 - I4 = 140    (Mes 4)

I4 + X5 - I5 = 220    (Mes 5)

I5 + X6 = 100          (Mes 6)

Xi; Ii ≥ 0 

TORA:

RESULTADO:

MAXIMIZAR Z = 44.980

VARIABLES:

x1 = 100

x2 = 0

x3 = 140

x4 = 220

x5 = 100

i1 = 0

i2 = 190

i3 = 0

i4 = 0

i5 = 0

Planificación de la Producción y Control de Inventario

Ejemplo 1: (Modelo de producción)

En preparación para la temporada Invernal, una compañía fabricante de ropa está manufacturando abrigos de piel con capucha y chamarras con relleno de plumas de ganso, pantalones con aislamiento y guantes.

Todos los productos se elaboran en cuatro departamentos diferentes: corte, aislamiento, costura y empaque. La compañía recibió pedidos en firme de sus productos.

El contrato  estipula una penalización por los artículos no surtidos. 

Elabore un plan de producción óptimo para la compañía, con base a los siguientes 
datos:  

Resolución:

X1= Chamarras

X2= Relleno de Plumas

X3= Pantalones

X4= Guantes

S= Penalidad

Maximizar Z= Unidad Total – Penalización

(30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4) – (15S1 + 20S2 + 10S3 + 8S4)

Sujeto a:

.30x1 + .30x2 +.25x3 + .15x4 ≤ 100 

.25x1 + .35x2 + .30x3 + .10x4 ≤ 100 

.45x1 + .50x2 + .40x3 + .22x4 ≤ 100 

.15x1 + .15x2 + .1x3 + .05x4 ≤ 100 

X1 + S1 = 800 

X2 + S2 = 750 

X3 + S3 = 600 

X4 + S4 = 500 

    

 X1; X2; X3; X4 ≥ 0

S1; S2; S3; S4 ≥ 0

TORA:

RESULTADO:

MAXIMIZAR Z= 64.625

VARIABLES:

x1 = 800

x2 = 750

x3 = 387
x4 = 500

s1 = 0

s2 = 0

s3 = 212.50

s4 = 0

Aplicaciones Lineales

1. Inversión:

Es disponible para los inversionistas de hoy, que consiste en la asignación de presupuestos de capital para proyectos, estrategias de inversión en bonos, selección de carteras en acciones y establecimiento de una política de prestamos bancarios.

Ejemplo 1: (Modelo de préstamo bancario)

Bank One esta desarrollando una política de préstamos que implica un máximo de $12 millones. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes en relación con los préstamos disponibles. 

Las deudas impagables son irrecuperables y no producen ingresos por intereses.

La competencia con otras instituciones financieras dicta la asignación de 40% mínimo de los fondos para préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la construcción de viviendas en la región, los préstamos para casa deben ser por los menos 50% de los préstamos para automóvil, personal y casa. 

El banco limita la proporción total de las deudas impagables en todos los préstamos aun máximo de 4%.

Resolución: 

x1= Préstamo Personal

x2= Préstamo Automóvil

x3= Préstamo Casa

x4= Préstamo Agrícola

x5= Préstamo Comercial

Maximizar Z= Total de intereses - Deudas Impagables

i) Total de Intereses:

.14x1 + .13x2 + .12x3 + .125x4 + .100x5

ii) Deudas Impagables:

.10x1 + .07x2 + .03x3 + .05x4 + .02x5

Maximizar Z= 

 [.14(.90)x1 + .13(.93)x2 + .12(.97)x3 + .125(.95)x4 + .100(.98)x5] -  [.10x1 + .07x2 + .03x3 + .05x4 + .02x5]  = 0.026x1 + 0.0509x2 + 0.0864x3 + 0.06875x4 + 0.078x5 

Sujeto a :

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 12                        

.40x1 + .40x2 + .40x3 - .6x4 - .6x5  ≤ 0      

.50x1 + .50x2 - .50x3  ≤ 0                            

.06x1 + .03x2 - .01x3 + .01x4 - .02x5  ≤ 0  

x1; x2; x3; x4; x5 ≥ 0                                  

Ingresar datos a TORA:

Ingresar el título para el problema (Problem Title), elegir número de variables(Nbr. Of Variables) y restricciones (No. of Constraints).

Ingresamos todos los datos y quedaría de la siguiente manera; y clic en el botón SOLVE Menu:

Por último obtendremos el resultado final de nuestro ejercicio 1:

RESULTADO:

Maximizar Z= 0.99648

Variables: 

x1 = 0

x2 = 0

x3 = 7.2

x4 = 0

x5 = 4.8