Examen Parcial

2. Considere el problema (Metodo Simplex):

Minimizar Z= 4X1 - 8X2 + 3X3

Sujeto a: 

X1 + X2 + X3 = 7

2X1 - 5X2 + X3 ≥ 10

X1; X2; X3 ≥ 0 

Llenamos nuestra tabla:

Respuesta Final: 

Minimizar Z= -56

X2= 7

S2= 45

S1 = 0

X1 = 0

X3 = 0

Examen Parcial

3. Considere el problema (Metodo Simplex):

Maximizar Z= 16X2 + 15X2

Sujeto a:

40X1 + 31X2 ≤ 2

-X1 + X2 ≤ 1

X1 ≤ 3

X1; X2 ≥ 0

Llenamos nuestra tabla:

Respuesta Final: 

Maximizar Z= 55.61

X2 = 2.31

X1 = 1.31

S3 = 1.69

Examen Parcial

1. Demuestre algebraicamente que todos las soluciones básicas de la siguiente P.L son no factibles.

Maximizar Z= X1 + 3X2

Sujeto a: 

X1 + X2 ≤ 2

-X1 + X2 ≤ 4

X1; X2 ≥ 0

Resolución:

Maximizar Z= X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2

Sujeto a:

X1 + X2 + S1 = 2

-X1 + X2 + S2 = 4

X1; X2 ≥ 0

S1; S2 ≥ 0

i) 

   Cm,n = m! / n! (m-n)!

            = 4! / 2! 2!

            = 6 

Una vez hallado nuestro ejercicio pasemos a llenar nuestra tabla:

Obtener la solución básica y luego colocar nuestros valores:

A continuación con la ayuda de TORA identificaremos el Punto de Esquina Asociado:

Maximizar Z= X1 + 3X2

Sujeto a: 

X1 + X2 ≤ 2

-X1 + X2 ≤ 4

X1; X2 ≥ 0

PUNTO DE ESQUINA ASOCIADO:

     GRAFICO:

Respuesta Final:

Maximizar Z= 6

X1 = 0

X2= 2

EJERCICIO 1 (MODELO DE P.L EN FORMA DE ECUACIÓN)

Función Objetivo

Ejercicio 1: 

Considere la siguiente P.L con dos variables:

Maximizar Z= X1 + X2

Sujeto a:

X1 + 2X2 ≤ 6

2X1 + X2 ≤ 16

X1 ; X2 ≥ 0

SOLUCIÓN:

Primero debemos convertir nuestras restricciones a ecuaciones:

Maximizar Z=  X1 + X2 + OS1 + 0S2

Sujeto a:

X1 + 2X2 + S1 = 6

2X1 + X2 + S2 = 16

         X1 ; X2 ≥ 0

          S1 ; S2 ≥ 0

i) 
    
     Cm;n = m! / n! (m - n)!

              = 4! / 2! . 2!
              
              = 6

   => m = variables
   =>  n = ecuaciones

Una vez hallado nuestro ejercicio, pasaremos a llenar nuestra tabla:

Obtener la solución básica:

1er Elemento de la tabla: Reemplazando en las ecuaciones:

0 + 2(0) + S1 = 6   -> S1 = 6

2(0) + 0 + S2 = 16 -> S2 = 16

2do Elemento de la tabla: Reemplazando en las ecuaciones:

0 + 2X2 + 0 = 6     -> X2 = 3

2(0) + 3 + S2 = 16 -> S2 = 13

3er Elemento de la tabla: Reemplazando en las ecuaciones:

2(0) + X2 + 0 = 16 -> X2 = 16

0 + 2(16) + S1 = 6 -> S1 = -26

4to Elemento de la tabla: Reemplazando en las ecuaciones:

X1 + 2(0) + 0 = 6  -> X1 = 6

2(6) + 0 + S2 = 16 -> x2 = 4

5to Elemento de la tabla: Reemplazando en las ecuaciones:

2X1 + 0 + 0 = 16 -> X1 = 8

8 + 2(0) + S1 = 6 -> S1 = -2

6to Elemento de la tabla: Reemplazando en las ecuaciones:

x1 + 2x2 + 0 = 6 ( -2 )

2x1 + x2 + 0 = 16

   -2x1 - 4x2 = -12

     2x1 + x2  =   16

            -3x2 = 4

               x2 = -1.33

2x1-1.33 = 16

        2x1 = 17.33

          x1 = 8.665

Colocar nuestros valores en nuestra tabla:

A continuación con la ayuda de TORA identificaremos el PUNTO DE ESQUINA ASOCIADO:  

Datos:

Maximizar Z= X1 + X2

Sujeto a:

X1 + 2X2  ≤  6

2X1 + X2 ≤ 16

Click en SOLVE Menu y luego a Graphical

Obtenida la gráfica podemos identificar los PUNTOS DE ESQUINA ASOCIADO:

Del gráfico los puntos factibles son A, B y D.

Nuestra tabla final quedara así:

RESULTADO:

Maximizar Z= 6

X1 = 6

X2 = 0

MODELO DE P.L EN FORMA DE ECUACIÓN

Función Objetivo:

                                          Maximizar Z=

                                          Minimizar Z=      

Sujeto a: 

6X1 + 4X2 ≤ 24


6X1 + 4X2 + S1 = 24
                  
                 + S1 => Variable de Holgura 


X1 + X2 ≥ 800

X1 + X2 - S2 = 800

             - S2 => Variable Superavil



Ejemplo:

1. Considere la siguiente desigualdad:

10X1 - 3X2 ≥ -5

10X1 - 3X2 - S1 = -5   =>   (NO PUEDE QUEDAR EN -5)

SE MULTIPLICA POR -1 LOS VALORES NEGATIVOS


Solución:

-10X1 + 3X2 ≤ 5

-10X1 + 3X2 + S1 = 5

                                              

          

Planificación de la Mano de Obra

Ejemplo 1: (Modelo de Horario de Autobuses)

La ciudad de Pisco estudia la factibilidad de utilizar un sistema de autobuses de transporte masiva para reducir el tráfico urbano. El estudio busca la cantidad mínima de autobuses que satisfaga las necesidades del transporte.

Después de reunirla información necesaria, el Ing. de transito observó que se requería fluctuaba según la hora del día, y dicha cantidad se podía representar de forma aproximada por valores constantes durante intervalos de 4 horas sucesivos. 

En la figura, resume los hallazgos del Ingeniero. Para realizar el mantenimiento diario requerido, cada autobús puede operar solo 8 horas continuas al día.

Resolución:

X1 = Cantidad de Autobuses 12:01 - 4:00

X2 = Cantidad de Autobuses  4:01  - 8:00

X3 = Cantidad de Autobuses  8:01  - 12:00

X4 = Cantidad de Autobuses 12:01 - 4:00

X5 = Cantidad de Autobuses  4:01  - 8:00

X6 = Cantidad de Autobuses  8:01  - 12:00

Minimizar Z= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

Sujeto a:

X1 + X6 ≥ 4         (12:01 - 4:00)

X1 + X2 ≥ 8         (4:01 - 8:00)

X2 + X3 ≥ 10       (8:01 - 12:00)

X3 + X4 ≥ 7         (12:01 - 4:00)

X4 + X5 ≥ 12       (4:01 - 8:00)

X5 + X6 ≥ 4         (8:01 - 12:00)

X(1, 2, 3, 4, 5, 6) ≥ 0 

TORA:

RESOLUCIÓN:

Minimizar Z= 26

Variables:

x1 = 4

x2 = 10

x3 = 0

x4 = 8

x5 = 4

x6 = 0

Modelo de Producción de un Periódico Único

Modelo de producción de múltiples periodos:

Ejemplo 1:

La compañía Acne, firmó un contrato para entregar 100, 250, 140, 220 y 100 ventanas para casa durante los siguientes 6 meses. El costo de producción (mano de obra, material) se estima que será de $50, $45, $55, $48, $58 y $50 durante los próximos seis meses.

Para aprovechar las fluctuaciones del costo de fabricación, Acne puede producir más ventanas de las necesarias en un mes dado y conservar las unidades adicionales para entregarlas en meses posteriores.

Esto supondrá un costo de almacenamiento a razón de $8 por ventana por mes, estimado en el inventario de fin de mes.

Desarrolle un programa lineal para determinar el programa de producción óptimo.

Resolucion:

Xi = Cantidades de Unidades

Ii = Unidades Almacenadas

i = 1; 2; 3; 4; 5; 6

Minimizar Z= 

50X1 + 45X2 + 55X3 + 48X4 + 52X5 + 50X6 + 

8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)

Sujeto a:

X1 - I1 = 100            (Mes 1)

I1 + X2 - I2 = 250    (Mes 2)

I2 + X3 - I3 = 190    (Mes 3)

I3 + X4 - I4 = 140    (Mes 4)

I4 + X5 - I5 = 220    (Mes 5)

I5 + X6 = 100          (Mes 6)

Xi; Ii ≥ 0 

TORA:

RESULTADO:

MAXIMIZAR Z = 44.980

VARIABLES:

x1 = 100

x2 = 0

x3 = 140

x4 = 220

x5 = 100

i1 = 0

i2 = 190

i3 = 0

i4 = 0

i5 = 0